Question

如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)．

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

Answer

（1）y=－x2＋2x＋3．B(1，4)．（2）证明见解析；（3）P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．（4）s=.

【解析】

试题分析：(1)利用两根式列出二次函数解析式y=a(x－3)(x＋1)，把将E(0，3)代入即可求出a的值，继而可求顶点B的坐标；

（2）过点B作BM⊥y于点M，利用已知条件先证明AB是△ABE外接圆的直径．再证CB⊥AB即可．

（3）存在；

（4）分两种情况进行讨论即可.

试题解析：(1)【解析】
由题意，设抛物线解析式为y=a(x－3)(x＋1)．

将E(0，3)代入上式，解得：a=－1．

∴y=－x2＋2x＋3．

则点B(1，4)．

(2)如图，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE==3．

在Rt△EMB中，EM=OM－OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．

∴∠BEA=180°－∠1－∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圆的直径．

在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3=90°，

∴∠CBE＋∠3=90°．

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线．

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．

(4)【解析】
设直线AB的解析式为y=kx＋b．

将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得

∴y=－2x＋6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，

∴F(，3)．

情况一：如图7，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．

则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．

由△AHD∽△FHM，得．即．解得HK=2t．

∴S阴=S△MND－S△GNA－S△HAD=×3×3－(3－t)2－t·2t=－t2＋3t．

情况二：如图8，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．即．解得IQ=2(3－t)．

∴S阴=S△IQA－S△VQA=×(3－t)×2(3－t)－(3－t)2=(3－t)2=t2－3t＋．

综上所述：s=.

考点：二次函数综合题.