Question

如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为点E、F．请判断AP与EF的数量关系，并证明你的判断．

Answer

AP=EF．证明见解析.

【解析】

试题分析：连接PC，根据正方形的性质可得∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，然后求出四边形PFCE是矩形，根据矩形的对角线相等可得PC=EF，再利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，从而得解．

试题解析：如图，连接PC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，

又∵PE⊥DC，PF⊥BC，

∴∠PFC=90°，∠PEC=90°，

∴四边形PFCE为矩形，

∴PC=EF，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP=PC，

∴AP=EF．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.矩形的判定与性质；3.正方形的性质．