Question

如图，BC是半圆O的直径，点A在半圆O上，点D是AC的中点，点E在上运动．若AB=2，tan∠ACB=，请问：分别以点A、E、D为直角顶点的等腰三角形AED存在吗？请逐一说明理由．

Answer

以点E为顶点时存在等腰直角三角形AED．

【解析】

试题分析：先运用三角函数求出AB，AD，CD之间的关系，再分三种情况说明①利用假设存在以点A为直角顶点的等腰三角形与已知得出矛盾，②以点E为直角顶点的等腰三角形存在，运用三角形全等证明．③利用假设存在以点A为直角顶点的等腰三角形与已知得出矛盾．

试题解析：∵BC为半⊙O的直径

∴∠BAC=90°

∴tan∠ACB=

∵tan∠ACB=，AB=2

∴AC=4

∵D为AC中点

∴AD=CD=AC=2

∴AB=AD=CD=2

①以点A为直角顶点的等腰三角形不存在

若存在，则∠CAE=90°

∵∠BAC=90°

∴B、A、E成一条直线

∴B、A、E不可能在同一个圆上，即点E不在⊙O上

因此以点A为直角顶点的等腰三角形不存在

②如图1，以点E为直角顶点的等腰三角形存在，

∵BC为半⊙O的直径

∴∠BEC=∠4+∠5=90°

∵∠AED=∠3+∠5=90°

∴∠3=∠4，

又∵∠1=∠2，AB=DC，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（AAS）

∴AE=DE，

∴△AED为等腰直角三角形．

③以点D为直角顶点的等腰三角形不存在

如图2，连接EC

假设点D为直角顶点的等腰三角形存在

则ED=AD=2，∠DAE=∠AED=45°，

∵ED是AC的垂直平分线，

∴AE=EC，

∴∠CED=∠AED=45°，

∴∠AEC=90°，

∴AC为直径

∵AC＜BC，不为直径

∴假设不成立

∴以点D为直角顶点的等腰三角形不存在．

综上所述，只有当以点E为顶点时存在等腰直角三角形AED．

考点：圆的综合题．