Question

菱形与正方形的形状有差异，我们将菱形与正方形的接近程度记为“接近度”．设菱形相邻的两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形与正方形的“接近度”定义为|m-n|．在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c（b＜0）交y轴于点A（与原点O不同），以AO为边作菱形OAPQ．

（1）当c=-b时，抛物线上是否存在点P，使菱形OAPQ与正方形的“接近度”为0，请说明理由．

（2）当c＞0时，对于任意的b，抛物线y=x²+bx+c上是否存在点P，满足菱形OAPQ与正方形的“接近度”为60？若存在，请求出所有满足条件的b与c的关系式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）理由见解析；（2）b=-c．

【解析】

试题分析：（1）表示出点A的坐标，再根据正方形的四条边都相等且每一个角都是直角取点P的坐标，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行验证即可；

（2）根据“接近度”的定义求出m、n的值，然后分点P在y轴右侧时，∠OAP=120°和∠OAP=60°两种情况求出点P的坐标，再代入抛物线解析式求出b、c的关系式，然后根据b＜0求出c的取值范围，进行验证即可；点P在y轴左侧时，只有∠OAP=120°，表示出点P的坐标，再代入抛物线解析式得到b、c的关系式，然后根据b＜0求出c的取值范围，再进行验证．

试题解析：（1）存在．

当c=-b时，点A的坐标为（0，-b），

取P（-b，-b），

当x=-b时，y=（-b）2+b×（-b）-b=-b，

故点P在抛物线上，且OA=AP，OA⊥P，

∴m=n=90，

∴抛物线上存在点P，使菱形OAPQ与正方形的“接近度”为0；

（2）【解析】
∵菱形OAPQ与正方形的“接近度”为60，

∴|m-n|=60，

又∵m+n=180，

∴m=120，n=60或m=60，n=120，

当P在y轴右侧时：①当∠OAP=120°时，P1（c，c）且在y=x2+bx+c上，

∴（c）2+b×c+c=c，

∴b=-c，

∵b＜0，

∴-c＜0，

解得c＞，

即当c＞时，b与c的关系式为b=-c；

②当∠OAP=60°时，P2（c，c），且在y=x2+bx+c上，

∴（c）2+b×c+c=c，

∴b=--c，

∵b＜0，

∴--c＜0，

解得c＞-，

举例：当b=-时，c=-＜0，不满足对任意b，c＞0，不符合题意；

当P在y轴左侧时：只可能存在∠OAP=120°，P3（-c，c）且在y=x2+bx+c上，

∴（-c）2+b×（-c）+c=c，

∴b=c-，

∵b＜0，

∴c-＜0，

解得c＜，

举例：当b=-1时，c=-，不满足对任意b，c＞0，不符合题意；

综上所述，b与c的关系式为b=-c．

考点：二次函数综合题．