Question

如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

（1）求证：△ABF≌△ECF；

（2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由．

Answer

(1)证明见解析；（2）当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，CE=DC，易证得∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，则可证得△ABF≌△ECF；

（2）首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．

试题解析：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

∴∠BAE=∠AEC，

又∵CE=CD，

∴AB=CE，

在△ABF和△ECF中，

，

∴△ABF≌△ECF（AAS）；

（2）当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，∠BCE=∠D，

由题意易得AB∥EC，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形．

∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，

∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，

∴FC=FE，

∴四边形ABEC是矩形．

考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．