Question

如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x₁、x₂均为正数，且满足1＜＜2（其中x₁＞x₂），那么称这个方程有“邻近根”．

（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；

（2）已知关于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0有“邻近根”，求m的取值范围．

Answer

(1) 方程有“邻近根”；理由见解析；（2）-2＜m＜-1或-1＜m＜．

【解析】

试题分析：（1）先解方程得到x1=，x2=1，则满足1＜＜2，所以可判断方程有“邻近根”；

（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m-1）2-4m×（-1）=（m+1）2≥0，利用求根公式解得x1=1，或，x2=1，则m＜0，然后讨论：

若x1=1，，则，是关于m的正比例函数，根据正比例函数性质得到-2＜m＜-1；

若，x2=1，则，是关于m的反比例函数，根据反比例函数性质得-1＜m＜，最后综合得到m的取值范围．

试题解析：（1）方程有“邻近根”．理由如下：

∵，

∴（x-1）（x-）=0，

∵x1＞x2，

∴x1=，x2=1，

这时x1＞0，x2＞0，且，

∵1＜＜2，

∴满足1＜＜2，

∴方程有“邻近根”；

（2）由已知m≠0且△=（m-1）2-4m×（-1）=（m+1）2≥0，

∴

∴x1=1，或，x2=1，

∵一元二次方程ax2+bx+c=0有“邻近根”，

∴x1、x2均为正数，

∴m＜0

若x1=1，，则，是关于m的正比例函数，

∵-1＜0，

∴随m的增大而减小．

当1＜-m＜2时，

∴-2＜m＜-1；

若，x2=1，则，是关于m的反比例函数，

∵-1＜0，

∴在第二象限，随m的增大而增大．

当1＜＜2时，

∴-1＜m＜．

综上，m的取值范围是-2＜m＜-1或-1＜m＜．

考点：1.根的判别式；2.解一元二次方程-公式法；3.解一元二次方程-因式分解法；4.正比例函数的性质；5.反比例函数的性质．