Question

有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图），连结BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．

（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；

（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图），设旋转角为（0°＜＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；

（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如图），F₂M₂与AD交于点P，A₂M₂与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？

Answer

（1）BD=MF，BD⊥MF．理由见解析；

（2）β的度数为60°或15°；

（3）平移的距离是（6﹣2）cm．

【解析】

试题分析：（1）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．

（2）根据旋转的性质得出结论．

（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出：，解得A2A的大小．

试题解析：（1）BD=MF，BD⊥MF.

延长FM交BD于点N，

由题意得：△BAD≌△MAF．

∴BD=MF，∠ADB=∠AFM.

又∵∠DMN=∠AMF，

∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，

∴∠DNM=90°，

∴BD⊥MF；

（2）当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，

则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，

即β=60°；

②当AF=FK时，∠FAK==75°，

∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，

即β=15°；

∴β的度数为60°或15°；

（3）由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x，

在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=8，

∴A2M2=4，A2F2=4，∴AF2=4﹣x．

∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，

∴AP=AF2•tan30°=4﹣x．

∴PD=AD﹣AP=4﹣4+x．

∵NP∥AB，

∴∠DNP=∠B．

∵∠D=∠D，

∴△DPN∽△DAB.

∴.

∴，

解得x=6﹣2.

即A2A=6﹣2．

答：平移的距离是（6﹣2）cm．

考点：1.相似三角形的判定与性质2.直角三角形全等的判定3.平移的性质4.旋转的性质．