Question

如图，抛物线：y＝ax²＋bx＋4与x轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；

(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer

（1）抛物线的解析式为：；

（2），S的最大值为．

【解析】

试题分析：（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可；

（2）设直线x=1上一点T（1，h），连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E，根据TA=TC由勾股定理求出即可；

（3）（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根据三角形的面积公式求出即可；

（II）当2＜t≤3时，作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APQ的面积，利用配方法求出最值即可．

试题解析：（1）把A、B(4，0)代入，得

解得

∴抛物线的解析式为：；

（2）由，得抛物线的对称轴为直线，

直线交x轴于点D，设直线上一点T(1，h)，连结TC，TA，作CE⊥直线，垂足为E，由C(0，4)得点E(1，4)，

在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得

解得，

∴点T的坐标为(1,1)；

（3）【解析】
（Ⅰ）当时，△AMP∽△AOC

∴

∴

当时，S的最大值为8.

（Ⅱ）当时，

作PF⊥y轴于F，有△COB∽△CFP，又CO=OB

∴FP=FC=，

∴

∴当时，则S的最大值为，

综合Ⅰ、Ⅱ，S的最大值为．

考点：二次函数综合题．