Question

如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，BP是⊙O的切线，连接PD并延长交⊙O于F、交AB于E，若∠BPF=∠ADC.

（1）判断直线PF与AC的位置关系，并说明你的理由；

（2）当⊙O的半径为5，tan∠P=，求AC的长.

Answer

（1）PF∥AC；理由见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）连接BC，根据三角形内角和定理求出∠CAB=∠PEB，根据平行线的判定推出即可．

（2）求出sin∠ABC=sin∠P=，代入求出即可．

（1）【解析】
直线BP和⊙O相切，

理由：连接BC，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵直线BP和⊙O相切，

∴∠PBA=90°，

∴∠P+∠PEB=90°，

∵∠P=∠ADC，

∴∠PEB=∠CAB，

∴PF∥AC；

（2）【解析】
由已知，得∠ACB=90°，∠P=∠ADC=∠ABC，⊙O的半径为5，

∴AB=10，

∵tan∠P=，

∴sin∠ABC=，

∴AC=AB×=2．

考点：切线的性质．