Question

通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。

（1）思路梳理

∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。

根据__ __________，易证△AFG≌_   _______，得EF=BE+DF。

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_        ___时，仍有EF=BE+DF。

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。

 

Answer

(1)SAS ,△AFE；(2)∠B +∠D=180°；(3)BD2+EC2=DE2.

【解析】

试题分析：(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE，进而得到EF=FG，即可得到EF=BF+DF；

（2）∠B +∠D=180°时，EF=BF+DF，与（1）的证法类同；

（3）把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合得到∠ECG=90°，所以EC2+CG2=EG2.易证△AEG≌△AED.得DE=EG. 又CG=BD,故BD2+EC2=DE2.

(1)SAS ,△AFE

(2)∠B +∠D=180°

(3)解：BD2+EC2=DE2.

∵AB=AC，

∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合.

∵△ABC中，∠BAC=90°.

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.

∴EC2+CG2=EG2.

在△AEG与△AED中,

∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,

又∵AD=AG，AE=AE，

∴△AEG≌△AED.

∴DE=EG.

又∵CG=BD,

∴BD2+EC2=DE2.

考点：几何变换综合题.