Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer

（1）y=x2-2x-3；（2）存在点P，P点的坐标为（，−）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为.

【解析】

试题分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；

（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；

（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．

（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；

所以二次函数的表达式为：y=x2-2x-3

（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；

设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E

若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；

连接PP′，则PE⊥CO于E，

∵C（0，-3），

∴CO=3，

又∵OE=EC，

∴OE=EC=

∴y=−；

∴x2-2x-3=−

解得x1=，x2=（不合题意，舍去），

∴P点的坐标为（，−）

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），

设直线BC的解析式为：y=kx+d，

则，解得：

∴直线BC的解析式为y=x-3，

则Q点的坐标为（x，x-3）；

当0=x2-2x-3，

解得：x1=-1，x2=3，

∴AO=1，AB=4，

S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=AB•OC+QP•BF+QP•OF

=×4×3+(−x2+3x)×3

=−(x−)2+

当x=时，四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为

考点：二次函数综合题．