Question

我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）．（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？

（3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？

Answer

(1)y=-0.08x+28, 100＜x≤200;y=-0.1x+32，200＜x≤300．(2) 第一年在100＜x≤200注定亏损，x=195时亏损最少，为78万元; (3)190元.

【解析】

试题分析：（1）根据题意列出关于xy的方程即可；

（2）根据条件，求出二次函数解析式，从中找出最值以及相应的自变量范围．

（3）分情况进行讨论，找出最值以及相应的自变量取值范围．

试题解析：：（1）这个显然是一个分段函数，

y=20-=-0.08x+28

100＜x≤200，

可见x=200元时，y=28-16=12（万件），

y=12- =-0.1x+32，200＜x≤300．

（2）投资成本为480+1520=2000万元

y=-0.08x+28，100＜x≤200，

w=xy-40y-2000

=（x-40）（-0.08x+28）-2000

=-0.08x2+31.2x-3120

=-0.08（x-195）2-78

可见第一年在100＜x≤200注定亏损，x=195时亏损最少，为78万元

（3）两年的总盈利不低于1842万元，可见第二年至少要盈利1842+78=1920万元，既然两年一块算，第二年我们就不用算投资成本那2000万元了．

第二年：100＜x≤200时，盈利：xy-40y=-0.08（x-195）2+1922≥1920

解不等式得到：190≤x≤200

这时候再看y=-0.08x+28，可见x=190时，y最大=12.8

所以定价190元时候，销售量最大．

考点：二次函数的应用．