Question

如图，菱形ABCD中，点E,M在A,D上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=∠B

（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积。

（2）求证：BF=EF-EM

Answer

(1) ；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先过点D作DH⊥MC于点H，由菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，易求得∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，然后由勾股定理求得DH的长，继而求得△MCD的面积；

（2）首先延长AB到N，使BN=EM，连接CN，易证得△BNC≌△MEC（SAS），继而证得△NCF≌△ECF（SAS），则可证得BF=EF-EM．

试题解析：（1）过点D作DH⊥MC于点H，

∵菱形ABCD的周长为8，

∴CD=2，

∵CD=CM，且∠D=67.5°，

∴∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，

在Rt△CDH中，DH=DC×sin45°=，

∴S△MCD=CM•DH=×2×=；

（2）延长AB到N，使BN=EM，连接CN，

∵CD=CM，CD=CB，且∠ABC=∠D，

∴BC=CM，∠1=∠2=∠ABC，

∵∠1+∠ABC=∠2+∠5

∴∠1=∠5

在△BNC和△MEC中，

，

∴△BNC≌△MEC（SAS），

∴∠4=∠3，NE=NC，

∵AD∥BC，

∴∠2=∠BCM=∠ABC，

∵∠ECF=∠ABC，

∴∠3+∠BCF=∠4+∠BCF=∠ECF，

在△NCF和△ECF中，

，

∴△NCF≌△ECF（SAS），

∴FN=EF，

EF=FB+NB=FB+EM，

∴FB=EF-EM．

考点:1.菱形的性质；2.全等三角形的判定与性质．