Question

如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。

Answer

(1) y=x2-x-1．(2) D（1，0）;(3) P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（，--1），P4（-，-1）．

【解析】

试题分析：（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A、C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．

（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，可设D点的横坐标，根据直线AC的解析式可表示出E点的纵坐标，即可得到DE的长，以DE为底，D点横坐标为高即可得到△CDE的面积，从而得到关于△CDE的面积与D点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△CDE的面积最大值及对应的D点坐标．

（3）根据抛物线的解析式，可求出B点的坐标，进而能得到直线BC的解析式，设出点P的横坐标，根据直线BC的解析式表示出P点的纵坐标，然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出△ACP三边的长，从而根据：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三种不同等量关系求出符合条件的P点坐标．

（1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，-1），

则有：，解得；

∴抛物线的解析式为：y=x2-x-1．

（2）∵A（2，0），C（0，-1），

∴直线AC：y=x-1；

设D（x，0），则E（x，x-1），

故DE=0-（x-1）=1-x；

∴△DCE的面积：S=DE×|xD|=×（1-x）×x=-x2+x=-（x-1）2+，

因此当x=1，

即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为．

（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（-1，0），

可求得直线BC的解析式为：y=-x-1；

设P（x，-x-1），因为A（2，0），C（0，-1），则有：

AP2=（x-2）2+（-x-1）2=2x2-2x+5，

AC2=5，CP2=x2+（-x-1+1）2=2x2；

当AP=CP时，AP2=CP2，有：

2x2-2x+5=2x2，解得x=2.5，

∴P1（2.5，-3.5）；

②当AP=AC时，AP2=AC2，有：

2x2-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，

∴P2（1，-2）；

③当CP=AC时，CP2=AC2，有：

2x2=5，解得x=±，

∴P3（，--1），P4（-，-1）；

综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（，--1），P4（-，-1）．

考点：二次函数综合题．