Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm。

如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动。当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移。DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）。解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由。

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。（图（3）供同学们做题使用）

Answer

(1)2；（2），当t=3时，y最小=.（3）1s.

【解析】

试题分析：（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；

（2）作PM⊥BC，将四边形的面积表示为S△ABC-S△BPE即可求解；

（3）假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得．

（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP=AQ.

∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，

∴∠EQC=45°.

∴∠DEF=∠EQC.

∴CE=CQ．

由题意知：CE=t，BP=2t，

∴CQ =t.

∴AQ=8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm .

则AP=10－2t.

∴10－2t=8－t.

解得：t=2.

答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.

（2）过P作PM⊥BE，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴．

∴PM=.

∵BC=6cm，CE=t，

∴ BE=6－t.

∴y = S△ABC－S△BPE =

=

=.

∵，

∴抛物线开口向上.

∴当t=3时，y最小=.

答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2．

（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.

过P作PN⊥AC，交AC于N，

∴.

∵，

∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ=AQ－AN，

∴NQ=8－t－() =．

∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，

∴∠QCF=90°，∠QCF =∠PNQ.

∵∠FQC =∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .

∴．

∴．

∵

∴

解得：t=1.

答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．

考点：1.二次函数的最值；2.线段垂直平分线的性质；3.勾股定理；4.相似三角形的判定与性质．