Question

如图，在□ABCD中,点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME.

（1）若AM=2AE=4，∠BCE=30°,求□ABCD的面积；

（2）若BC=2AB，求证：∠EMD=3∠MEA.

Answer

（1）24；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及直角三角形的性质得出CE的长，进而得出答案；

（2）利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM（ASA），进而得出∠EMC=2∠N=2∠AEM，再求出∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，进而得出答案．

（1）【解析】
∵M为AD的中点，AM=2AE=4，

∴AD=2AM=8．在▱ABCD的面积中，BC=CD=8，

又∵CE⊥AB，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴BE=BC=4，

∴AB=6，CE=4，

∴▱ABCD的面积为：AB×CE=6×4=24；

（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．

∵在▱ABCD中，AB⊥CD，∴∠AEM=∠N，

在△AEM和△DNM中

∵，

∴△AEM≌△DNM（ASA），

∴EM=MN，

又∵AB∥CD，CE⊥AB，

∴CE⊥CD，

∴CM是Rt△ECN斜边的中线，

∴MN=MC．∴∠N=∠MCN，

∴∠EMC=2∠N=2∠AEM．

∵在平行四边形ABCD中，BC=AD=2DM，BC=2AB=2CD，

∴DC=MD，

∴∠DMC=∠MCD=∠N=∠AEM，

∴∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，

即∠EMD=3∠AEM．

考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质．