Question

平面直角坐标系中，抛物线交轴于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-3,0），（0,3），对称轴直线交轴于点E,点D为顶点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且,，求点P的坐标；

（3）点M是第一象限内抛物线上一点，且∠MAC=∠ADE，求点M的坐标.

Answer

（1）y=-x2-2x+3；（2）（-4，-5）或（1，0）；（3）（，）．

【解析】

试题分析：（1）由已知中点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴为直线x=-1，得出B点坐标，进而利用交点式求出即可求出抛物线的解析式；

（2）由已知中C点坐标，再假设出P点坐标，可求出直线PC解析式，求出R点坐标，进而根据S△PAC=2S△DAC，可得点P的坐标；

（3）过点C作CH⊥DE交DE于点H，设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，由∠MAC=∠ADE，可得N点坐标，进而求出CN的方程，联立直线与抛物线方程可得M点坐标．

（1）由对称轴x=-1，A（-3，0），可得B点坐标（1，0）

设y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得，4=-8a，

解得：a=-1，

所求解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）如图：y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，顶点D（-1，4），

由A（-3，0）、C（0，3），得直线AC解析式为y=x+3；

设对称轴交AC于点G，则G（-1，2），∴S△DAC=（4-2）×3=3，

设P点（m，-m2-2m+3），

设PC解析式为：y=qx+p，

∴，

解得：k=-m-2，

∴PC解析式为：y=（-m-2）x+3，

设PC与x轴交于点R，

∴R（，0），

∴AR=3+，

∴S△APR+S△CAR=（3+）×（m2+2m-3）+×（3+）×3=+，

则S△PAC=+，

由S△PAC=2S△DAC，∴+=2×3，

解得：m1=-4，m2=1，

把m1=-4，m2=1分别代入y=-x2-2x+3中，

∴y1=-5，y2=0，

∴P点坐标为（-4，-5）或（1，0）；

（3）由以上可得出：D（-1，4），C（0，3），E（-1，0），

如备用图：过点C作CH⊥DE交DE于点H，

∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，

∴CD=，AC=3，△ACD为直角三角形，且tan∠DAC=．

设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，

∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，

∴tan∠MAO=．

∵A（-3，0），

∴ON=1，即N（0，1），

设直线CN解析式为：y=dx+h

∴，

解得：，

∴直线CN解析式为y=x+1，

联立方程

得：x=-3（舍）或x=，

∴点M的坐标为（，）．

考点：二次函数综合题．