Question

如图，△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．

（1）若BC=，求△BDE的周长；

（2）求证：NE－ME=CM．

Answer

（1）；（2）完成证明见解析

【解析】

试题分析：（1）充分利用直角三角形的性质和勾股定理即可得解，在Rt△BDE中，要求周长，求出是BD长是关键，而BD长放在Rt△BCD中即可得解.

（2）想证明NE－ME=CM这样的关系，关键将其放入全等三角形中，用等量代换的关系即可得证，充分利用点E为CD的中点的条件作出辅助线，过D作D作DF⊥BM于点F，或过点D作DF∥CM交BM于点F，或在MB上截取EF，使EF=EM（如第24题解答图1），另外也可过点C作CP∥DN交BM延长线于点P，或过点C作CP∥DN交BM延长线于点P，或延长EM至点P，使EP=EN（如第24题解答图2），利用两次全等三角形，即可得证。

试题解析：

（1）∵∠ABC=45°，CD⊥AB

∴在Rt△BCD中，∠DBC=∠DCB=45°

∵BC= ∴BD=CD=2

∵点E为CD中点

∴DE=CE=CD=1

∴

∴

∴△BDE的周长为

（2）（方法一）过点D作DF⊥BM于点F

∵BM⊥AC

∴∠DFE=∠CME=90°

在△DEF和△CEM中

∴△DEF≌△CEM（AAS）

∴DF=CM FE=ME

∵ND⊥MD，CD⊥AB

∴∠BDN+∠NDE=∠CDM+∠NDE=90°

∴∠BDN=∠CDM

∵CD⊥AB，BM⊥AC

∴∠BDE=∠CDA=90°

∠DBE+∠DEB=∠ACD+∠CEM=90°

∵∠DEB=∠CEM ∴∠DBE=∠ACD

在△BDN和△CDM中

∴△BDN≌△CDM（ASA）

∴DN=DM

∴在Rt△DMN中，∠DNM=∠DMN=45°

∴在Rt△DMN中，∠DNM=∠NDF=45°

∴DF=NF

又∵DF=CM，FE=ME

∴NE=NF+FE=CM+ME

∴NE－ME=CM.

（2）问其他方法：（解法略）

方法二：过点D作DF∥CM交BM于点F

方法三：在MB上截取EF，使EF=EM

方法四：过点C作CP∥DN交BM延长线于点P

方法五：延长EM至点P，使EP=EN

考点：1．直角三角形判定及性质定理；2 ．全等三角形判定及性质定理．