Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，抛物线经过A、C两点．

（1）求抛物线的解析式及其顶点坐标；

（2）如图①，点P是抛物线上位于x轴下方的一点，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，过点P、Q分别向x轴作垂线，垂足为点D、E，记矩形DPQE的周长为d，求d的最大值，并求出使d最大值时点P的坐标；

（3）如图②，点M是抛物线上位于直线AC下方的一点，过点M作MF⊥AC于点F，连接MC，作MN∥BC交直线AC于点N，若MN将△MFC的面积分成2：3两部分，请确定M点的坐标．

Answer

（1），（1，-4）

【解析】

试题分析：

（1）考查求解抛物线的能力，利用点在抛物线上代入即可得解，再求出顶点坐标.

（2）考查数形结合的能力，利用点在抛物线上，设出P点，写出Q点，得出矩形DPQE的周长为d关于所设变量的函数，再利用二次函数的性质即可得解.

（3）进一步考查数形结合的能力，过点F作FH⊥MN于H，过C作CG⊥MN于G，利用面积比的关系即可得解，注意解值的有意义.

试题解析：

（1）由已知得：A（-1，0）、C（4，5）

∵二次函数的图像经过点A（-1，0）C(4,5)

∴ 解得

∴抛物线解析式为

∵

∴顶点坐标为（1，-4）

（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x=1

设点P为（（t，），

∵P、Q为抛物线上的对称点

∴

当时，

∵

∴当t=2使，d有最大值为10，即点P为（2，-3）

当时，由抛物线的轴对称性得，点P为（0，-3）时，d有最大值10

综上，当P为（0，-3）或（2，-3）时，d有最大值10

（3）过点F作FH⊥MN于H，过C作CG⊥MN于G，则∠ANM=∠ACB=45°

∵MF⊥AC

∴ ∴

∵A(-1，0)，C(4，5）

∴直线AC解析式为y=x+1

设点M为（m，），其中，则CG=4－m

由MN∥BC得点N为（m，m+1）

∴

当时，有3MN=4CG 即

解得： （舍去）

∴点M为

当时，有2MN=6CG 即

解得： （舍去）

∴点M为（2，-3）

∴ 综上，当M为、（2，-3）

考点：1．二次函数的性质；2 ．数形结合．