Question

如图，曲线抛物线的一部分，且表达式为：曲线与曲线关于直线对称。

（1）求A、B、C三点的坐标和曲线的表达式；

（2）过点D作轴交曲线于点D，连接AD，在曲线上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标。

（3）设直线CM与轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）A（－1,0），B（3，0），C（0，），（2）

（3）

【解析】

试题分析：（1）对点A、B、C坐标的意义要明白，点A与点B是二次函数与横轴的交点，点C是也纵轴的交点,关于意义的理解，就是将进行了平移.

（2）要理解，只有当CM垂直平分AD时，才能在找到点M故点M即为直线（C与AD的中点P连线）的交点.

（3）显然MN的值固定，即在上的点，到CM的距离最大的点，即与CM平行的直线与只有一个交点时，即为所求.

试题解析：

（1）【解析】
易求A（－1,0），B（3，0），C（0，），

（2）解：若AD垂直平分CM，则可知CDMA为菱形，此时点M（1,0）

显然不在上；故直线CM垂直平分AD，取AD中点P，易求其坐标为

（1，）,故直线CN的解析式为：

求其与的交点坐标：

解之得：，（不合舍去）

故

（3）因为MN的长度固定，故点P到MN的距离最大时，△PMN的面积最大

故设：另一直线与相交于点P，很显然它们只有一个交点时，满足条件。

即：只有唯一一个解的时候，这个点就是点P

解之得：

将代入

故点P的坐标为

考点：二次函数的综合题