Question

（本题满分10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m－5，2）．

（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90º？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．

Answer

（1）1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA＝90º；（2）6.5或3.5.

【解析】

试题分析：（1）如图1，BC∥OA.以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，根据直径所对的圆周角为直角可得∠OEA=∠OFA=90º，要使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90º，则点B、C必须在线段EF上，作DG⊥EF于G，连DE，利用垂径定理和勾股定理可求得EG的长，即可得点E、F的坐标，根据直线BC与圆的交点必须在线段EF上，可得，解得m的取值即可；（2）由B、C的坐标可得BC=5，即可证明四边形OABC是平行四边形，∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q可得∠OQA =90º，所以可得点Q只能是点E或点F．分这两种情况分别求出m的值即可.

试题解析：

【解析】
（1）如图1，由题意，知：BC∥OA.以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90º.

作DG⊥EF于G，连DE，则DE＝OD＝2.5，DG＝2，EG＝GF，

∴ EG＝ ＝1.5，

∴点E（1，2），点F（4，2）．

∴当

即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA＝90º.

（2）∵BC=5=OA，BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形.

当Q在边BC上时，

∠OQA =180º－∠QOA－∠QAO=180º－（∠COA+∠OAB）=90º，

∴点Q只能是点E或点F．

当Q在F点时，

∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，

∴∠CFO＝∠FOA=∠FOC，∠BFA＝∠FAO=∠FAB，

∴CF＝OC，BF＝AB，

∵OC＝AB，

∴F是BC的中点．

∵F点为 （4，2），

∴此时m的值为6.5．

当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5．

考点：圆的综合题.