Question

（本题满分10分）一次函数y＝x的图像如图所示，它与二次函数y＝ax²－4ax＋c的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C．

（1）求点C的坐标；

（2）设二次函数图像的顶点为D．

①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；

②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

Answer

（1）C（2，）；（2）①y＝x2－x；②y＝x2－x－3或 y＝－x2＋2x＋.

【解析】

试题分析：（1）求得二次函数y＝ax2－4ax＋c对称轴为直线x＝2，把x＝2代入y＝x求得y=，即可得点C的坐标；（2）①根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A（m，m） ，根据S△ACD＝3即可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的表达式.②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，

根据勾股定理用m表示出AC的长，根据△ACD的面积等于10可求得m的值，即可得A点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a＞0，则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若a＜0，则点D在点C上方，求点D的坐标，分别把A、D的坐标代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函数表达式.

试题解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函数图像的对称轴为直线x＝2．

当x＝2时，y＝x＝，∴C（2，）．

（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，－），∴CD＝3.

设A（m，m） （m<2），由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.

由A（0，0）、 D（2，－）得 解得a＝，c＝0.

∴y＝x2－x.

②设A（m，m）（m<2），过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，

AC＝＝（2－m），

∵CD＝AC，∴CD＝（2－m）.

由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．

∴A（－2，－），CD＝5.

若a＞0，则点D在点C下方，∴D（2，－），

由A（－2，－）、D（2，－）得 解得

∴y＝x2－x－3.

若a＜0，则点D在点C上方，∴D（2，），

由A（－2，－）、D（2，）得 解得

∴y＝－x2＋2x＋.

考点：二次函数与一次函数的综合题.