Question

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD与△A₁C₁D₁重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A₁AD₁≌△CC₁B；②s=（x-2）²（0＜x＜2）；③当x=1时，四边形ABC₁D₁是正方形；④当x=2时，△BDD₁为等边三角形；其中正确的是                   ．

Answer

①②③④．

【解析】

试题分析：根据所给条件，逐项进行判断即可求出答案.

试题解析：①∵四边形ABCD为矩形，

∴BC=AD，BC∥AD

∴∠DAC=∠ACB

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，

∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，

在△A1AD1与△CC1B中，

∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），

故①正确；

∵∠ACB=30°，

∴∠CAB=60°，

∵AB=1，

∴AC=2，

∵x=1，

∴AC1=1，

∴△AC1B是等边三角形，

∴AB=D1C1，

又AB∥BC1，

∴四边形ABC1D1是菱形，

故③正确；

如图所示：

则可得BD=DD1=BD1=2，

∴△BDD1为等边三角形，故④正确．

④易得△AC1F∽△ACD，易求出s=（x-2）2（0＜x＜2）故②正确；

综上可得正确的是①②③④．

考点：四边形综合题.