Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点，折叠正方形ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：①AE=AG；②tan∠AGE=2；③；④四边形ABFG为等腰梯形；⑤BE=2OG，则其中正确的结论个数为（   ）。

A．2      B．3      C．4      D．5

Answer

C．

【解析】

试题分析：求出∠AEG、∠AGE的度数即可判断①；

设EF=x，则AE=x，BE=x，将计算出tan∠AEG即可判断②；

易得△DOG∽△DFE，求出OG的长度，利用面积比等于相似比平方可判断③；

根据折叠的性质及平行四边形的判定可判断④；

根据前面所求的线段的长度表达式可判断⑤；

试题解析：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°，

由折叠的性质可得：∠ADE=∠FDE=∠ADB=22．5°，

则∠AEG=90°-∠ADE=67．5°，∠AGE=∠ADE+∠DAC=22．5°+45°=67．5°，

∵∠AGE=∠AEG=67．5°，

∴AE=AG，即①正确；

设EF=x，则AE=x，BE=EF=x，AB=AE+BE=（+1）x，

tan∠AGE=tan∠AEG=+1．即②错误；

∵AB=（+1）x，

∴AO=（1+）x，OG=AO-AG=AO-AE=x，

易得△DOG∽△DFE，

∵，

∴可得S△DOG=S四边形EFOG，即③正确；

∵∠AGE=∠FGE（折叠的性质），∠AGE=∠AEG（①已证），

∴∠FGE=∠AEG，

∴GF∥AB，

又∵BF=EF（等腰直角三角形的性质）=AE=AG，

∴四边形ABFG为等腰梯形，即④正确；

由上面的解答可得：AE=x，OG=x，

故可得BE=2OG，即⑤正确．

综上可得：①③④⑤正确，共4个．

故选C．

考点：翻折变换（折叠问题）．