Question

在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是      ；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是          ；

（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．

Answer

（1）四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（3）菱形；（4）四边形EGFH是正方形．

【解析】

试题分析：（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质；

（2）当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形；

（3）当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）；

（4）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；可通过证△BOG≌△COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．

试题解析：（1）四边形EGFH是平行四边形；

证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O

∴点O是▱ABCD的对称中心；

∴EO=FO，GO=HO；

∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，

∴四边形EGFH是菱形；

（3）菱形；

由（2）知四边形EGFH是菱形，

当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；

（4）四边形EGFH是正方形；

证明：∵AC=BD，

∴▱ABCD是矩形；

又∵AC⊥BD，

∴▱ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°

∴∠BOG=∠COF；

∴△BOG≌△COF（ASA）；

∴OG=OF，同理可得：EO=OH，

∴GH=EF；

由（3）知四边形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四边形EGFH是正方形．

考点：1．正方形的判定；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的判定；4．菱形的判定．