Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C(0，2)．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？

Answer

(1) y＝x2−x+;(2) ；（3）当点P坐标为(−3，) 或(−12，)时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．

【解析】

试题分析：（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；

（2）根据（1）得到的抛物线的解析式，可求出其对称轴方程联立直线OD的解析式即可求出D点的坐标；由于⊙D与x轴相切，那么D点纵坐标即为⊙D的半径；欲求劣弧EF的长，关键是求出圆心角∠EDF的度数，连接DE、DF，过D作y轴的垂线DM，则DM即为D点的横坐标，通过解直角三角形易求得∠EDM和∠FDM的度数，即可得到∠EDF的度数，进而可根据弧长计算公式求出劣弧EF的长；

（3）易求得直线AC的解析式，设直线AC与PG的交点为N，设出P点的横坐标，根据抛物线与直线AC的解析式即可得到P、N的纵坐标，进而可求出PN，NG的长；Rt△PGA中，△PNA与△NGA同高不等底，那么它们的面积比等于底边PN、NG的比，因此本题可分两种情况讨论：①△PNA的面积是△NGA的2倍，则PN：NG=2：1；②△PNA的面积是△NGA的，则NG=2PN；可根据上述两种情况所得的不同等量关系求出P点的横坐标，进而由抛物线的解析式确定出P点的坐标．

试题解析：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），C(0，2) ；

∴

解得：

∴抛物线的解析式为：y＝x2−x+

（2）易知抛物线的对称轴是x=4，

把x=4代入y=2x，得y=8，

∴点D的坐标为（4，8）；

∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；

连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；

在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，

∴cos∠MDF=；

∴∠MDF=60°，

∴∠EDF=120°；

∴劣弧EF的长为：

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；

∵直线AC经过点A(2，0)，C(0，2)，

∴

解得

∴直线AC的解析式为：y＝x+；

设点P(m， m2−−m+(m＜0)，PG交直线AC于N，

则点N坐标为(m，−m+)，

∵S△PNA：S△GNA=PN：GN；

∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；

即m2−−m+=(−m+)

解得：m1=-3，m2=2（舍去）；

当m=-3时，m2−−m+=

∴此时点P的坐标为(−3，)；

②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；

即m2−−m+=3 (−m+)

解得：m1=-12，m2=2（舍去）；

当m=-12时，m2−−m+=

∴此时点P的坐标为(−12，)；

综上所述，当点P坐标为(−3，) 或(−12，)时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．

考点：二次函数综合题．