Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

（1）求证：DF·DE＝CE·CB;

（2）若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）证明∠DAF=∠EDC，∠ADF=∠CED，进而得到△ADF∽△DEC，列出比例式化为等积式，即可解决问题．

（2）求出DE的长度；运用△ADF∽△DEC，列出比例式，即可解决问题．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC=∠B，AD∥BC；而∠AFE=∠B，

∴∠ADF=∠CED，∠AFE=∠ADC；

∵∠AFE=∠FAD+∠ADF，∠ADC=∠ADF+∠EDC，

∴∠DAF=∠EDC，而∠ADF=∠CED，

∴△ADF∽△DEC，

∴AD：DE=DF：EC，

∴AD•EC=DE•DF．又∵AD=CB

∴CB•EC=DE•DF．

（2）∵AD∥BC，AE⊥BC，

∴AE⊥AD，

由勾股定理得：DE2=AD2+AE2，

而AD=3，AE=3，

∴DE=6；

∵△ADF∽△DEC，

∴AD：DE=AF：DC，而DC=AB=4，

∴AF=2．

考点：相似三角形的判定与性质．