Question

在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（   ，   ）、C（   ，   ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①被满足的情况下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）B（3，0），C（0，）．．（2）①x=2；②（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）

【解析】

试题分析：（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；

（2）①根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，相加即可得到AE的长度，即x的值；

②根据①确定点E在对称轴上，然后求出∠FEB=60°，根据同位角相等两直线平行求出EF∥AC，再求出直线EF的解析式，与抛物线解析式联立求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出EM的长度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三种情况分别求解．

试题解析：（1）B（3，0），C（0，）．

∵A（—1，0）B（3，0），

∴可设过A、B、C三点的抛物线为．

又∵C（0，）在抛物线上，

∴，

解得．

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式

即．

（2）①当△OCE∽△OBC时，则．

∵OC=， OE=AE—AO=x－1， OB=3，

∴，

∴x=2．

∴当x=2时，△OCE∽△OBC．

②存在点P．

由①可知x=2，

∴OE=1，

∴E（1，0），

∴△CAE为等边三角形，

∴∠AEC=∠A=60°．

又∵∠CEM=60°，

∴∠MEB=∠AEC=60°．

∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称．

∵C（0，），

∴M（2，）．

抛物线对称轴为x=1.

过M作MN⊥x轴于点N（2，0），

∴MN=，

∴ EN=1，

∴

若△PEM为等腰三角形，则：

ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）．

ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2)．

ⅲ）当PE=PM时，设点P坐标为（1，m）则m2=12+(-m)2

解得：m=

∴点P为(1，)．

综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，△EPM为等腰三角形．

考点：二次函数综合题．