Question

如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，B=6cm．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；

（2）如解答图所示，解题关键是证明△CDM≌△OBM，从而得到S阴影=S扇形BOC．

试题解析：如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．

（1）证明：根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，

∵AC∥BD，

∴∠A=∠OBD=30°，

∴∠OCA=180°-30°-60°=90°，

即OC⊥AC，

∵OC为半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）【解析】
由（1）知，AC为⊙O的切线，

∴OC⊥AC．

∵AC∥BD，

∴OC⊥BD．

由垂径定理可知，MD=MB=BD=3．

在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB=

在△CDM与△OBM中，

∴△CDM≌△OBM（ASA），

∴S△CDM=S△OBM

∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC=

考点：1.切线的判定,2.扇形面积的计算