Question

已知如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE：

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，Sin∠ABC=，求BF的长。

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．

（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．

试题解析：证明：（1）连接OC，

∵OD⊥BC，

∴∠COE=∠BOE，

在△OCE和△OBE中，

∵，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，

∵OB是⊙O半径，

∴BE与⊙O相切．

（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，

∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，

∴△ODH∽△OBD，

∴

又∵sin∠ABC=，OB=9，

∴OD=6，

易得∠ABC=∠ODH，

∴sin∠ODH=，

即，

∴OH=4，

∴DH=，

又∵△ADH∽△AFB，

∴，

，

∴FB=．

考点：1．切线的判定与性质；2．相似三角形的判定与性质；3．解直角三角形．