Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上的一点，连接CP并延长 ，交AD于E，交BA的延长线于F。

（1）求证：∠DCP=∠DAP．

（2）若AB=2，DP:PB=1:2，且PA⊥BF，求对角线BD的长。

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质得CD=AD，∠CDP=∠ADP，证明△CDP≌△ADP即可；

（2）由菱形的性质得CD∥BA，可证△CPD∽△FPB，利用相似比，结合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可证A为BF的中点，又PA⊥BF，从而得出PB=PF，已证PA=CP，把问题转化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，

∴△CDP≌△ADP，

∴∠DCP=∠DAP；

（2）【解析】
∵四边形ABCD为菱形，

∴CD∥BA，CD=BA，

∴∠CDP=∠FBP，∠BFP=∠DCP，

∴△CPD∽△FPB，

∴，

∴CD=BF，CP=PF，

∴A为BF的中点，

又∵PA⊥BF，

∴PB=PF，

由（1）可知，PA=CP，

∴PA=PB，在Rt△PAB中，

PB2=22+（PB）2，

解得PB=，

则PD=，

∴BD=PB+PD=．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．菱形的性质．