Question

已知抛物线与轴交于A（1，0），B（－3，0）两点，与轴交于点C（0，3），抛物线顶点P，连接AC。

（1）求抛物的解析式；

（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标。

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得S_△MAP=2S_△ACP，若存在，求出M点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）y=-x2-2x+3，（2）D（-，），（3）M（-1，2）或（-1，6）．

【解析】

试题分析：（1）利用交点式将抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，代入y=a（x-x1）（x-x2），求出二次函数解析式即可；

（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线QC的解析式，将两函数联立求交点坐标即可；

（3）首先求出二次函数顶点坐标，S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，以及S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP=得出使得S△MAP=2S△ACP点M的坐标．

试题解析：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-x1）（x-x2），

∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，

∴y=a（x-1）（x+3），

又∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

∴a（0-1）（0+3）=3，

∴a=-1

∴y=-（x-1）（x+3），

即y=-x2-2x+3，

（2）∵点A（1，0），点C（0，3），

∴OA=1，OC=3，

∵DC⊥AC，

∴∠DCO+∠OCA=90°，

∵OC⊥x轴，

∴∠COA=∠COQ，∠OAC+∠OCA=90°，

∴∠DCO=∠OAC，

∴△QOC∽△COA，

∴，

∴OQ=9，

又∵点Q在x轴的负半轴上，

∴Q（-9，0），

设直线QC的解析式为：y=mx+n，则

，

解之得：，

∴直线QC的解析式为：y=x+3，

∵点D是抛物线与直线QC的交点，

∴，

解之得：，（不合题意，应舍去），

∴点D（-，），

（3）如图，点M为直线x=-1上一点，连接AM，PC，PA，

设点M（-1，y），直线x=-1与x轴交于点E，

∴E（-1，0），

∵A（1，0），

∴AE=2，

∵抛物线y=-x2-2x+3的顶点为P，对称轴为x=-1，

∴P（-1，4），

∴PE=4，

则PM=|4-y|，

∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，

=×1×（3+4）+×1×3，

=×（7+3），

=5，

又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP，

S△AEP=AE×PE=×2×4=4，

∴S△ACP=5-4=1，

∵S△MAP=2S△ACP，

∴×2×|4-y|=2×1，

∴|4-y|=2，

∴y1=2，y2=6，

故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP，

点M（-1，2）或（-1，6）．

考点：二次函数综合题．