Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，菱形ABDC的边AB在x轴上，顶点C在y轴上，A（－6,0），C（0,8），抛物线经过点C，且顶点M在直线BC上，则抛物线解析式为                ；若点P在抛物线上且满足S_△PBD=S_△PCD，则点P的坐标为             ．

Answer

，P1（，），P2（-5，38）．

【解析】

试题分析：根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求M的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；分点P在CD的上面和点P在CD的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P的坐标．

试题解析：∵y=ax2-10ax+c，

∴对称轴为直线x=-=5．

设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，

∴，

解得．

∴y=-2x+8．

∵点M在直线y=-2x+8上，

∴n=-2×5+8=-2．

又∵抛物线y=ax2-10ax+c经过点C和M，

∴，

解得．

∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+8；

∵A（-6，0），C（0，8），

∴AC=10，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD∥AB，

∵C（0，8），

∴点D的坐标是（10，8）；

由题意可P在抛物线y=x2-4x+8上，且到BD，CD所在直线距离相等，

所以P在二次函数与BD、CD所在的直线的夹角平分线的交点上，

而BD、CD所在的直线的夹角平分线有两条：一条是AD所在的直线，解析式为y=x+3，

另外一条是过D且与BC平行的直线，解析式为：y=-2x+28，

联立，

解得：（舍）或，

联立，

解得：（舍）或，

所以当△PBD与△PCD的面积相等，点P的坐标为P1（，），P2（-5，38）．

考点：二次函数综合题．