Question

有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4,DE=。 将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．

（1）如图（3），在三角板DEF；运动过程中，当EF经过点C时，∠FCB=        度；BF=          ；

（2）如图（2）在三角板DEF运动过程中，EF与BC交于点M，过点M做MN⊥AB于点N，设BF=x，用x的代数式表示MN；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x的取值范围．

Answer

（1）∠FCB=15°；BF=（2）MN=x．（3）

【解析】

试题分析：（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；

（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；

（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：

（I）当0≤x≤2时，如答图1所示；

（II）当2＜x≤6-2时，如答图2所示；

（III）当6-2＜x≤6时，如答图3所示．

试题解析：（1）∠FCB=15°；BF=

（2）因为MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．

又∵NF==MN，BN=NF+BF，

∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．

（3）在三角板DEF运动过程中，（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：

y=S△BDG﹣S△BFM=BD•DG﹣BF•MN=（x+4）2﹣x•x=－x2+4x+8；

（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：

y=S△ABC﹣S△BFM=AB•AC﹣BF•MN=×62﹣x•x=－x2+18；

（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：

由BF=x，则AF=AB﹣BF=6﹣x，

设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°=（6﹣x）．

y=S△AFM=AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）=x2﹣x+．

综上所述：y与x的函数解析式为：

考点：相似形综合题．