Question

抛物线y=ax²+3交x轴于A（-4，0）、B两点，交y轴于C．将一把宽度为1.2的直尺如图放置在直角坐标系中，使直尺边A′D′∥BC，直尺边A′D′交x轴于E，交AC于F，交抛物线于G，直尺另一边B′C′交x轴于D．当点D与点A重合时，把直尺沿x轴向右平移，当点E与点B重合时，停止平移，在平移过程中，△FDE的面积为S．

（1）请你求出S的最大值及抛物线解析式；

（2）在直尺平移过程中，直尺边B′C′上是否存在一点P，使点P、D、E、F构成的四边形这菱形，若存在，请你求出点P坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过G作GH⊥x轴于H

①在直尺平移过程中，请你求出GH+HO的最大值；

②点Q、R分别是HC、HB的中点，请你直接写出在直尺平移过程中，线段QR扫过的图形的面积和周长．

Answer

（1）y=-x2+3，（2）(-，)，（3），-，2+3．

【解析】

试题分析：（1）由y=ax2+3得到C（0，3），列方程求得DE=2，作FM⊥DE于M，得到DE•FM=，得到FM=，由抛物线y=ax2+3关于y轴对称得：AC=BC，所以∠CBA=∠CAB，由EF∥BC，得出∠FED=∠CBA，∠FED=∠FAE，推出FA=FE，由于FM⊥DE，得到AM=ME=1，根据三角形相似列比例式即可求出结果．

（2）当D与A重合时，FD=FE，过E作EP1∥FA交B′C′于P1，则四边形P1DFE为菱形，此时F（-3，），由于F与P1关于x轴对称，得到P1（-3，-），②如图（2）若FE=ED=2时，过F作FP2∥ED交B′C′于P2，则四边形P2DEF为菱形，反向延长FP2交y轴于W，过F作FN⊥x轴于N，由于FE∥BC，∴∠FEN=∠CBO，求出sin∠FEN=sin∠CBO=，在Rt△ENF中，sin∠FEN=，即FN=，解出直线AC的解析式为y=x+3，即可求得P点的坐标；

（3））①设G(x，-x+3)，由勾股定理即可求出结果，②在平移的过程中，QR始终平行且等于BC的一半，所以QR扫过的图形为平行四边形，如图3四边形Q1R1R2Q2为平行四边形，通过三角形相似，列比例式解得OH的长度，即可求得线段QR扫过的图形的面积和周长．

试题解析：（1）∵y=ax2+3，∴C（0，3），即：OC=3×DE•OC=3，

∴DE=2，

如图1，作FM⊥DE于M，

DE•FM=，

∴FM=，

由抛物线y=ax2+3关于y轴对称得：AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB，

∵EF∥BC，

∴∠FED=∠CBA，

∴∠FED=∠FAE，

∴FA=FE，

∵FM⊥DE，

∴AM=ME=1，

∵FM∥CO，

∴△AFM∽△ACO，

∴

即，

∴AO=4，即：A（-4，0）B（4，0），

将B（4，0）代入y=ax2+3得：a=-即y=-x2+3，

（2）①如图1，当D与A重合时，FD=FE，过E作EP1∥FA交B′C′于P1，

则四边形P1DFE为菱形，此时F（-3，），

∵F与P1关于x轴对称，

∴P1（-3，-），

②如图（2）若FE=ED=2时，过F作FP2∥ED交B′C′于P2，则四边形P2DEF为菱形，

反向延长FP2交y轴于W，过F作FN⊥x轴于N，

∵FE∥BC，∴∠FEN=∠CBO，

∴sin∠FEN=sin∠CBO=

在Rt△ENF中，sin∠FEN=，即FN=，

直线AC的解析式为y=x+3，

令y=，则x=-，

∴FW=，

∴P2W=+2=，

∴P2(-，)，

（3）①设G(x，-x+3)，

∴GH+HO=-x+(-x2+3)=-x2-x+3=-(x+)2+，

∴GH+HO的最大值为，

②在平移的过程中，QR始终平行且等于BC的一半，所以QR扫过的图形为平行四边形，

如图3四边形Q1R1R2Q2为平行四边形，

设HO=m，则GH=-m2+3，

∵△EFM∽△EGH，

∴

即，

∴m1=2-2，m2=-2-2，

即：HO=2-2

∵HB=HO+OB=2-2+4=2+2，

∴HR1=HB=+1，

∵HR2=HB-R2B=2+2-2=2，

∴R1R2=HR2-HR1=-1，

∴S平行四边形=（-1）×=-，

平行四边形R1R2Q2Q1的周长=2+3．

考点：二次函数综合题．