Question

⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.

（1）如题24﹣1图；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；

（2）如题24﹣2图，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；

（3）如题24﹣3图；取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.

Answer

60°；见解析；见解析.

【解析】

试题分析：根据AB为⊙O直径，得出∠ODB=90°，根据D为OP的中点得出OD=OB，则cos∠BOD=，则∠BOD=60°，根据AB为直径得出∠ACB=90°，则∠ACB=∠ODB得出AC∥PG，得出∠BAC=∠BOD=60°；由（1）知，CD=BD， ∵∠BDP=∠CDK，DK=DP， ∴△PDB≌△CDK，则CK=BP，∠OPB=∠CKD，根据∠AOG=∠BOP得出AG=BP，则AG=PG，根据OP=OB得出∠OPB=∠OBP，又根据∠G=∠OBP得出AG∥CK，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定；根据CE=PE，CD=BD得出DH∥PB，根据∠G=∠OPB得出PB∥AG，然后得到△OBD≌△HOP，则∠OHP=∠ODB=90°，即PH⊥AB.

试题解析：（1）∵AB为⊙O直径，， ∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，

∵D为OP的中点， ∴OD=， ∴cos∠BOD=， ∴∠BOD=60°，

∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ODB， ∴AC∥PG， ∴∠BAC=∠BOD=60°；

（2）由（1）知，CD=BD， ∵∠BDP=∠CDK，DK=DP， ∴△PDB≌△CDK，

∴CK=BP，∠OPB=∠CKD， ∵∠AOG=∠BOP， ∴AG=BP， ∴AG=CK ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠OBP，

又∠G=∠OBP， ∴AG∥CK， ∴四边形AGCK是平行四边形；

（3）∵CE=PE，CD=BD， ∴DE∥PB，即DH∥PB ∵∠G=∠OPB， ∴PB∥AG， ∴DH∥AG，

∴∠OAG=∠OHD， ∵OA=OG， ∴∠OAG=∠G， ∴∠ODH=∠OHD， ∴OD=OH，

又∠ODB=∠HOP，OB=OP， ∴△OBD≌△HOP， ∴∠OHP=∠ODB=90°， ∴PH⊥AB.

考点：圆的基本性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定.