Question

如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.

（1）填空：AD=   （cm），DC=   （cm）；

（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动 到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y（cm²），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值.

（参考数据：sin75°=，sin15°=）

Answer

、；cm；

【解析】

试题分析：根据直角三角形的勾股定理分别求出AD和DC的长度；过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF，根据∠ACD=60°，∠ACB=45°得出∠NCF=75°，∠FNC=15°，设NC=x，根据sin15°的值得出FC的值，则得出NE、DF的长度，从而得出点N到AD的距离；根据sin75°得出FN的长度，根据PD和CP的长度得出PF的长度，从而得出y与x的函数关系式，然后根据二次函数的最值求法求出最大值.

试题解析：（1）；；

（2）如图，过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF.∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，

∴∠NCF=75°，∠FNC=15°， ∴sin15°=，又NC=x， ∴，

∴NE=DF=. ∴点N到AD的距离为cm；

（3）∵sin75°=，∴， ∵PD=CP=，

∴PF=，

∴·

即，

当=时，y有最大值为.

考点：直角三角形的性质、三角形函数、二次函数的应用.