Question

（9分）如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD．

（1）求证：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．

Answer

（1）△ABC≌△ADC证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用SSS定理证得结论；（2）设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．

试题解析：（1）证明：在△ABC与△ADC中，

，∴△ABC≌△ADC（SSS）；

【解析】
设BE=x，

∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=tan60°•x=x，

∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，

∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CE=BE=x，

∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2．

故答案为：（1）△ABC≌△ADC证明见解析；（2）.

考点：全等三角形的判定与性质；作图——复杂作图．