Question

（10分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△，设旋转角为，记直线与的交点为P．

（1）如图1，当时，线段的长等于        ，线段的长等于        ；（直接填写结果）

（2）如图2，当时，求证：,且；

（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为        ；②点P到AB所在直线的距离的最大值为        ．（直接填写结果）

Answer

（1）,；（2）证明见解析；（3），.

【解析】

试题分析：（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；（3）①直接利用直角三角形的性质得出PM=BC得出答案即可；②首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．

试题解析：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，∴AE=AD=2，

∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），

∴当时，AE1=2，∠E1AE=90°，

∴，；

（2）证明：当时，如图2，

∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，

∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，

在△D1AB和△E1AC中

∵,∴△D1AB≌△E1AC（SAS），

∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，

记直线BD1与AC交于点F，∴∠BFA=∠CFP，∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD1⊥CE1；

（3）【解析】
①∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中点为M，∴PM=BC，

∴PM=，

②如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，

∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，

当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，

此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1=，故∠ABP=30°，

则PB=，故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=．

故答案为：（1）,；（2）证明见解析；（3），.

考点：几何变换综合题．