Question

（本题满分10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．

（1）求证：ED∥AC；

（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为，△ADC的面积为，且，求△ABC的面积．

Answer

【解析】

试题分析：（1）根据角平分线的性质可求出∠BAD=∠CAD，根据圆周角定理可得∠E=∠BAD，因此可得∠CAD=∠E，再由平行线的性质可得∠E=∠EDA，因此可证∠EDA=∠CAD，由平行线的判定得证结论；

（2）根据题意可证△EBD∽△ADC，且相似比为2:1，可知其面积比为4:1，即，把其代入已知的式子，可求=，根据不同底但同高，可知△ABD的面积是△ADC面积的2倍，因此可求结果.

试题解析：证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD =∠DAC．

∵∠E=∠BAD，

∴∠E =∠DAC．

∵BE∥AD，

∴∠E =∠EDA．

∴∠EDA =∠DAC．

∴ED∥AC．

解：（2）∵BE∥AD，

∴∠EBD =∠ADC．

∵∠E =∠DAC，

∴△EBD∽△ADC，

且相似比．

∴，

即．

∵，

∴，

即．

∴．

∵，

∴．

考点：圆周角定理，三角形相似，三角形的面积