Question

（本题满分10分）如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC．

（1）∠ABC的度数为      °；

（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）45，（2）（3）存在，当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数的解析式，分别让x=0、y=0，可求出B、C的坐标，然后根据坐标可判断三角形为等腰直角三角形，求出∠ABC的度数；

（2）如图①，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，可求得对称轴，然后可设P的坐标为（，n），然后根据PA=PC，再根据勾股定理可列式，代入可求P的坐标；

（3）存在，由P点的坐标，A（-1,0），可根据勾股定理的逆定理判断△APC是等腰直角三角形，然后可由相似判断出△QBC是等腰直角三角形，结合图①②，可分两种情况讨论,并且由二次函数的最值问题求出点的坐标.

试题解析：【解析】
（1）45．

理由如下：令x=0，则y=-m，

C点坐标为（0，-m）．

令y=0，则，

解得，．

∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，

∴B点坐标为（m，0）．

∴OB=OC=m．

∵∠BOC＝90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．

（2）解法一：如图①，作PD⊥y轴，垂足为D，

设l与x轴交于点E，

由题意得，抛物线的对称轴为．

设点P坐标为（，n）．

∵PA= PC，

∴PA2= PC2，

即AE2+ PE2=CD2+ PD2．

∴．

解得．

∴P点的坐标为．

解法二：连接PB．

由题意得，抛物线的对称轴为．

∵P在对称轴l上，

∴PA=PB．

∵PA=PC，

∴PB=PC．

∵△BOC是等腰直角三角形，

且OB=OC，

∴P在BC的垂直平分线上．

∴P点即为对称轴与直线的交点．

∴P点的坐标为．

（3）存在点Q满足题意．

∵P点的坐标为，

∴PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2

=．

∵AC2=，

∴PA2+ PC2=AC2．

∴∠APC＝90°．

∴△PAC是等腰直角三角形．

∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，

∴△QBC是等腰直角三角形．

∴由题意知满足条件的点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）．

①如图①，当Q点的坐标为（-m，0）时，

若PQ与x轴垂直，则，

解得，PQ=．

若PQ与x轴不垂直，

则．

∵0＜m＜1，

∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．

∵＜，

∴当，即Q点的坐标为（，0）时， PQ的长度最小．

②如图②，当Q点的坐标为（0，m）时，

若PQ与y轴垂直，则，

解得，PQ=．

若PQ与y轴不垂直，

则．

∵0＜m＜1，

∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．

∵＜，

∴当，即Q点的坐标为（0，）时， PQ的长度最小．

综上：当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小．

考点：二次函数与几何综合