Question

如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂…，如此进行下去，得到四边形A_nB_nC_nD_n．下列结论正确的个数有

① 四边形A₂B₂C₂D₂是矩形；           

② 四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；

③ 四边形A₅B₅C₅D₅的周长是；   

④ 四边形A_nB_nC_nD_n的面积是．

A、1个           B、2个         C、3个       D、4个

Answer

C．

【解析】

试题分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：

连接A1C1，B1D1．

∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，

∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；

∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，

∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；

∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，

∴B1D1=A1C1；

∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2，

∴四边形A2B2C2D2是菱形；

故本选项错误；

由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；

∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；

故本选项正确；

根据中位线的性质易知，

A5B5=A3B3=×A1B1=××AC，B5C5=B3C3=×B1C1=××BD，

∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）=；

④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，

∴S四边形ABCD=；

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

四边形AnBnCnDn的面积是；

故本选项正确；

综上所述，②③④正确．故答案选C．

考点：菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理．