Question

（5分）（1）如图1，将∠EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交BC于E，交CD于F，连接EF．若∠EAF=45°，BE、DF的长度是方程的两根，请直接写出EF的长；

（2）如图2，将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交CB的延长线于E，交DC的延长线于F，连接EF．若AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，∠EAF=∠BAD，请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的前提下，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长．

（1）EF的长为：                           ；

（2）数量关系：                            ；

证明：

Answer

（1）5．（2）EF=DF-BE，证明过程详见解析．（3）△CEF的周长为15．

【解析】

试题分析：

（1）延长EB至H，使BH=DF，连接AH，证△ADF≌△ABH，△FAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EF=HE=BE+HB进而求出即可．

（2）在DF上截取DM=BE，第一步，首先证△ADM≌△ABE，得DF=BE；第二步，证△AMF≌△AEF，得EF=FM，由此得到DF、EF、BE的数量关系;

（3）△CEF的周长为BE+EF+CF+BC，由（2）得DF=BE+EF，把数据代入即可的答案．

试题解析：【解析】
（1）5．

（2）EF=DF-BE．

证明：在DF上截取DM=BE，连接AM．如图，

∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，

∴∠D=∠ABE．

∵AD=AB，

∴△ADM≌△ABE．

∴AM=AE，∠DAM=∠BAE．

∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD，

∴∠DAM+∠BAF=∠BAD．

∴∠MAF=∠BAD．

∴∠EAF=∠MAF．

∵AF是△EAF与△MAF的公共边，

∴△EAF≌△MAF．

∴EF=MF．

∵MF=DF-DM=DF-BE，

∴EF=DF-BE．

（3）△CEF的周长为15．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质．