Question

（4分）请阅读下列材料：

问题：如图1，点，在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小．小明的思路是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为所求．

请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）如图3，在图2的基础上，设与直线的交点为，过点作，垂足为．若，，，写出的值为            ；

（2）将（1）中的条件“”去掉，换成“”，其它条件不变，写出此时的值            ；

（3）+的最小值为            ．       

Answer

（1）；（2）5；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由勾股定理和相似三角形的性质，求得AP，BP的值即可；（2）由勾股定理和相似三角形的性质，建立方程求解；（3）结合图形，由（1）（2）直接写出即可．

试题解析：在Rt△ACP中，由勾股定理得，AP=，

∵△ACP≌△A′CP，△A′CP∽△BDP，

∴CP：PD=A′P：BP，解得BP=2，

∴AP+BP的值为3；

（2）∵△A′CP∽△BDP

∴BD：A′C=PD：CP=2：1

∴BD=4-AC=2AC

∴AC=，BD=

由勾股定理知，AP=，BP=

∴AP+BP的值为5；

（3）∵2m-3+8-2m=5，

∴=．

故+有最小值为．

考点：轴对称——最短路径问题；勾股定理；相似三角形的判定及性质．