Question

（6分）如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，点D在AC上．

（1）若F是BD的中点，求证：CF=EF；

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AE恰好在AC上（如图2）．若F为BD上一点，且CF=EF，求证：BF= DF；

（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3）．若F是BD的中点．探究CE与EF的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）CE=FE，证明过程详见解析．

【解析】

试题分析：（1）直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，同理可得出CF=DF=BF，因此CF=EF；

（2）延长EF交CB于点G，由CF=EF可得∠FEC=∠ECF，又因∠FEC+∠EGC=∠ECF+∠FCG=90°，所以∠FCG=∠EGC，因此CF=FG．由等量代换可知EF=FG；再证△EDF≌△GBF即可得BF= DF；

（3）取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．我们可证明∠CFE是直角．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论．

试题解析：（1）在直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，

∴EF=DF=BF，

同理可得出CF=DF=BF．

∴CF=EF；

（2）如图1， 延长EF交CB于点G，

∵CF=EF，

∴∠FEC=∠ECF；

∵∠FEC+∠EGC=∠ECF+∠FCG=90°，

∴∠FCG=∠EGC，

∴CF=FG，

∴EF=FG；

∵DE∥CB，

∴∠EDF=∠GBF，

∠DEF=∠BGF，

∴△EDF≌△GBF，

∴BF= DF；

（3）如图2，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，

∵DF=BF，

∴FM∥AB，且FM=AB，

∵AE=DE，∠AED=90°，

∴AM=EM，∠AME=90°，

∵CA=CB，∠ACB=90°

∴CN=AN=AB，∠ANC=90°，

∴MF∥AN，FM=AN=CN，

∴四边形MFNA为平行四边形，

∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA，

∴∠EMF=∠FNC，

∴△EMF≌△FNC，

∴FE=CF，∠EFM=∠FCN，

由MF∥AN，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°，

∴∠FCN+∠PFC=90°，

∴∠EFM+∠PFC=90°，

∴∠EFC=90°，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴∠CEF=45°，

∴CE=FE．

考点：三角形的中位线定理；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三角形全等的判定及性质；平行四边形的判定及性质．