Question

如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC．

求证：（1）四边形EBFD是菱形； （2）MB : OE=3：2 ．

Answer

见解析．

【解析】

试题分析：连接BD，根据矩形的性质得出△CFO≌△AEO，从而得到FO=EO，得到平行四边形，根据BO=CO，∠COB=60°得到△COB是等边三角形，然后根据线段和角度之间的关系得到∠FOB=90°，从而得到菱形；根据FO=FC，BO=BC得到BF是线段OC的垂直平分线，得到∠FMO=∠OMB=90°，然后根据直角三角形的性质得到OF=BF，FM=OF，从而得到BM=OF，根据FO=EO得到比值．

试题解析：（1）连接BD．∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点， ∴BD必过点O且BO=DO=CO=AO

∵矩形ABCD ∴AB∥DC，AB=DC ∴∠FCO=∠EAO ∴△CFO≌△AEO ∴FO=EO

∵BO=DO ∴四边形EBFD是平行四边形 ∵BO=CO ∠COB=60° ∴△COB是等边三角形

∴∠OCB=60° ∴∠FCO=∠DCB－∠OCB=30° ∴∠FOB=90° ∴平行四边形EBFD是菱形．

（2）∵FO=FC ∴点F在线段OC的垂直平分线上 ∵BO=BC ∴点B在线段OC的垂直平分线上．

∴BF是线段OC的垂直平分线．∴∠FMO=∠OMB=90° ∴∠OBM=30° ∴OF=BF

∵∠FOC=30° ∴FM=OF ∴BM=BF－MF=2OF－OF=OF ∴BM=OF

∵FO=EO ∴BM：OE=3:2

考点：特殊平行四边形的性质．