Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若DF=3，DE=2．①求值；②求的度数．

Answer

（1）见解析；（2）①；②60°．

【解析】

试题分析：连接AD，根据AD平分∠BAC得到∠DAF＝∠DAO，根据OA=OD得到∠OAD＝∠ODA，从而得到∠DAF=∠ODA，说明AF∥OD，根据垂直得到切线；连接BD，根据AB为直径得到∠ADB=90°，从而得到BE为切线，从而说明△BDE∽△AFD，然后得出比值；连接OC，设BE=2x，则AD=3x，根据△BDE∽△ABE得出方程然后求出x的值，从而得到∠BAE的角度，然后得到∠FAB的度数．

试题解析：（1）连结OD， ∵AD平分∠BAC∴∠DAF＝∠DAO∵OA=OD∴∠OAD＝∠ODA

∴∠DAF＝∠ODA ∴AF∥OD．∵DF⊥AC ∴OD⊥DF ∴DF是⊙O的切线

（2）①连接BD ∵直径AB， ∴∠ADB=90° ∵圆O与BE相切 ∴∠ABE=90°

∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90° ∴∠DAB=∠DBE ∴∠DBE=∠FAD ∵∠BDE=∠AFD=90°

∴△BDE∽△AFD ∴

②连接OC，交AD于G 由①，设BE=2x，则AD=3x

∵△BDE∽△ABE∴∴ 解得：x1=2，x2＝（不合题意，舍去）

∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8 ∴sin∠EAB= ∴∠EAB=30° ∴∠FAB=60°．

考点：圆的基本性质、三角形相似．