Question

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如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A,则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．

          图1                         图2

证明：延长PO 交⊙O于点B，显然PB>PA．

如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC．

∵PO＜PC+OC   且PO=PA+OA，OA=OC     ∴PA＜PC

∴PA 长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．

由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．

请用上述真命题解决下列问题．

（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是        ．

        

       图3                          图4

（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接AC,①求线段A′M的长度; ②求线段A′C长的最小值．

Answer

（1）AP=－1；（2）①1；②－1

【解析】

试题分析：根据题意得出AP的长度；根据折叠得出A′M=AM=1,；根据折叠可得点A′得圆上，连接CM交圆M于点A′，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H，根据Rt△MHD得出DH和MH的值，根据Rt△CHM的勾股定理得出CM的长度，然后得出A′C的值．

试题解析：（1）AP=－1

（2）①∵△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN ∴A′M=AM=1

②由①知，点A′在以点M为圆心，1为半径的圆上

连接CM交圆M于点A′，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H．

在Rt△MHD中，DH=DM·cos∠HDM= MH=DM·sin∠HDM=

在Rt△CHM中，根据勾股定理可得CM= ∴A′C=－1．

考点：折叠图形的性质、勾股定理、三角函数．