Question

如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．

（2）如图③，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①利用尺规作出△ABC的自相似点P（不写出作法，保留作图痕迹）；

②如果△ABC的内心P是该三角形的自相似点，请直接写出该三角形三个内角的度数．

Answer

见解析；、、

【解析】

试题分析：根据CD为AB的中线得出CD=BD，则∠BCE=∠ABC，根据垂直得出∠BEC=∠ACB，从而得到三角形相似，即E是△ABC的自相似点；连接PB、PC，则点P是△ABC的内心，根据自相似点得出△BCP∽△ABC，从而得出∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，然后根据三角形内角和得出∠A的度数．

试题解析：⑴在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD．

∴∠BCE=∠ABC． ∵BE⊥CD， ∴∠BEC=90°， ∴∠BEC=∠ACB ∴△BCE∽△ABC．

∴E是△ABC的自相似点．

⑵①作图略

②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，

∴，．∵P为△ABC的自相似点， ∴△BCP∽△ABC．

∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A， ∠ACB=2∠BCP=4∠A．

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°． ∴∠A+2∠A+4∠A=180°．

∴． ∴该三角形三个内角的度数分别为、、．

考点：三角形相似的应用．