Question

给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；

（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．

①求证：△BCE是等边三角形；

②求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

Answer

（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；

（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；

②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．

试题解析：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；

（2）①∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，

∵∠CBE=60°，

∴△BCE是等边三角形；

②∵△ABC≌△DBE，

∴BE=BC，AC=ED；

∴△BCE为等边三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△DCE中，

DC2+CE2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2．

考点：四边形综合题．